Questão #15076142005

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Uma função f : Rⁿ R é chamada homogênea de grau k se f(tx) = t^k f (x), para todo número real t e para todo vetor x de Rⁿ. Se uma k n função diferenciável f é homogênea de grau k, então é possível mostrar que

kf (x) = ∇f(x) . x, ∀ x ∈ Rⁿ .

Essa igualdade é chamada identidade de Euler.

Sabendo que, em cada ponto da superfície da esfera unitária, o vetor normal unitário exterior é o próprio vetor posição, analise os seguintes passos utilizados na obtenção da integral de superfície Imagem da questão .

passo I: A integral de superfície pode ser reescrita como Imagem da questão .

passo II: A integral obtida no passo I é igual a Imagem da questão .

passo III: Calculando-se essa última integral, obtém-se 4π como resultado.

Assinale a opção correta acerca desses procedimentos.

plano tangente à superfície da esfera unitária.

A No passo I, utilizou-se a identidade de Euler indevidamente, já que a função que se quer integrar não é homogênea. B No passo II, o integrando é o produto interno do gradiente da função f(x, y, z) = x² + y² + z² + xy com um vetor unitário pertencente ao C Na passagem de I para II, utilizou-se o teorema de Stokes, e, para isso, n = (x, y, z) foi tomado como vetor normal à superfície da esfera unitária. D Para se obter a expressão do passo II, utilizou-se a relação ∇ . ∇f = Δf, isto é, o divergente do gradiente de uma função é o laplaciano dessa função. E No passo III, considerou-se que a integral tripla do passo II é igual à área da superfície da esfera unitária.

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